statistika 2

Hipotesis Keragaman

Untuk menguji hipotesis keragaman mengenai suatu populasi atau membandingkan keragaman suatu populasi dengan keragaman populasi lainnya. Jadi mungkin saja kita ingin menguji hipotesis bahwa keragaman persentase ketakmurnian suatu zat tidak melebihi batas yang dibolehkan, atau mungkin keragaman umur cat tembok tertentu sama dengan keragaman umur cat tembok lain yang merupakan tandingannya.

Hipotesis Chi-Square

Pertama-tama marilah kita perhatikan pengujian hipotesis nol H₀ bahwa ragam populasi s² sama dengan nilai tertentu s₀² lawan salah satu dari alternatif, yagn ditunjukkan di bawah ini :

H₀ : s² = s₀²

H₁ : s²  < s₀² , s² > s₀²  atau  s² ¹ s₀² 

Statistik uji digunakan sebagai landasan keputusan adalah peubah acak khi-kuadrat, yang juga digunakan untuk membuat selang kepercayaan bagi s².

Jadi bila sebaran populasi yang diambil contohnya sekurang-kurangnnya kira-kira (mendekati) normal, nilai khi-kuadrat bagi uji  s² = s₀²  diberikan menurut rumus

	n    = ukuran normal s2   = ragam contoh s02 = nilai  s2 menurut hipotesis nol

Bila  H₀ benar,  x² adalah sebaran  khi-kudrat dengan  v = n – 1 derajat bebas, wilayah kritiknya:

H₁                                            wilayah kritik

      s²  >                                             c²  >

      s²  <                                             c²  <

      s²  ¹                                     

ë           Contoh Soal

Sebuah perusahaan aki mobil mengatakan bahwa umur aku yang diproduksinya mempunyai simpangan baku 0,9 tahun. Bila suatu contoh acak 10 aki menghasilkan simpangan baku s = 1,2 tahun. Apakah menurut anda  s > 0,9 tahun? Gunakan taraf nyata 0,05!

Jawab :

1.            H₀  :  s²  =  0,81

2.            H₁  :  s²  >  0,81

3.            a  =  0,05

4.            Statistik uji :

      , daerah kritik:  c² > 16,919

5.            Penghitungan :  s² = 1,44  ; n = 10

                  

6.            Keputusan : terima H₀ dan simpulkan bahwa tidak ada alasan untuk meragukan simpangan bakunya adalah 0,9 tahun.

Hipotesis Sebaran F (dua ragam)

Sekarang perhatikan masalah pengujian kesamaan dua ragam populasi s₁² dan s₂². Artinya kita ingin menguji  hipotesis nol H₀ bahwa s₁² = s₂² lawan salah satu alternative, yang ditunjukkan di bawah ini :

H₀ : s₁² = s₂²

H₁ : s₁²  < s₂² , s₁² > s₂²  atau  s₁² ¹ s₂² 

Bila contoh berukuran  n₁  dan n₂  itu bersifat bebas, maka nilai  f  bagi pengujian   s₁² = s₂² adalah rasio

                          

S₁²  dan  S₂²  adalah ragam dari kedua sampel tersebut. Bila kedua populasi sedikitnya mendekati normal dan hipotesis nol-nya benar, maka rasio  f merupakan suatu nilai bagi sebaran  F  dengan      v₁= n₁–1  dan  v₂= n₂–1  derajat bebas, sehingga wilayah kritiknya :

H₁                                            wilayah kritik

      s₁²  >                                 >

      s₁²  <                                  <

      s₁²  ¹             

ë           Contoh Soal

Sebuah pelajaran matematika diberikan pada 12 siswa dengan metode pangajaran biasa. Kelas baru terdiri dari 10 orang siswa diberi pelajaran yang sama tetapi metodenya telah diprogramkan. Pada akhir semester kedua kelas diberi ujian yang sama. Kelas pertama mempunyai ragam 16 dan kelas-kelas kedua ragamnya 25. apakah ragam kedua populasi sama? Gunakan taraf nyata 0,10.

Jawab :

1.            H₀  :  s₁²  = s₂²

2.            H1  :  s₁²  ¹  s₂²

3.            a  =  0,10

4.            Statistik uji :

      , daerah kritik: 

  

5.            Penghitungan :  s₁² = 16  ,  s₂² = 25

                        

6.            Keputusan : terima H₀  dan simpulkan bahwa kita cukup beralasan untuk menerima kedua ragam populasi sama.

Latihan Soal :

1. Pengalaman lalu menunjukkan bahwa waktu yang diperlukan oleh siswa kelas tiga sekolah lanjutan atas menyelesaikan suatu ujian tertentu yang telah dibakukan merupakan suatu peubah acak normal dengan simpangan baku 6 menit. Ujilah hipotesis bahwa s = 6 lawan alternatifnya bahwa s < 6, bila suatu contoh acak 20 siswa menghasilkan simpangan baku s = 4.51. gunakan taraf nyata 0.05.
2. Sebuah penelitian bermaksud membandingkan waktu yang diperlukan oleh karyawan laki-laki dan perempuan untuk merakit sebuah produk tertentu. Pengalaman lalu menunjukkan bahwa sebaran waktu yang diperlukan bagi karyawan laki-laki dan perempuan menghampiri sebaran normal, tetapi ragam bagi perempuan lebih kecil daripada ragam laki-laki. Suatu contoh acak 11 karyawan dan 14 karyawati menghasilkan data berikut :
3. Banyak sampel karyawan laki-laki yang diambil secara acak adalah sebanyak 11 orang dengan simpangan baku 6.1, dan banyakny sampel karyawan perempuan yang diambil secara acak adalah 14 orang denga simpangan baku 5.3. Ujilah hipotesis bahwa s₁²  = s₂² lawan alternatifnya s₁²  > s₂². Gunakan taraf nyata 0.01.